BAB 5 : PERSAMAAN PARAMETRIK DAN KOODINAT KUTUB

5.1 Persamaan Parametrik

A) Rangkuman Materi

1 Persamaan parametrik

Persamaan parametrik adalah cara merepresentasikan suatu kurva atau lintasan menggunakan satu atau lebih variabel bebas, yang disebut parameter. Koordinat \(x\) dan koordinat \(y\) pada persamaan parametrik adalah fungsi waktu, yaitu

\(x=f(t), y=g(t)\)

Apabila tidak tertulis batasan t, maka t bergerak antara \( (-\infty, +\infty) \). Sedangkan jika t dibatasi pada suatu selang [a, b], maka dituliskan dengan

\[ x = x(t), \quad y = y(t), \quad (a \leq t \leq b) \]

2 Orientasi Kurva Parametrik

Persamaan parametrik yang berbeda dapat menghasilkan orientasi(arah) berbeda untuk kurva yang sama. Contohnya pada persamaan paramterik berikut

Selain itu, tidak semua persamaan parametrik menghasilkan kurva dengan orientasi.

3 Mengeliminasi Parameter

Hal ini dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai \(x\) pada \(y\) ataupun sebaliknya. Namun perlu diperhatikan bahwa mengeliminasi parameter dari persamaan parametrik dapat mengubah perluasan grafik. (Contoh Soal pada bagian bawah).

4 Menyajikan Grafik Fungsi Secara Parametrik

Kebalikan dari bagian "Mengeliminasi parameter", pada bagian ini diberikan bagaimana untuk menyajikan kurva berbentuk \( y = f(x) \) dan \( x = g(y) \) secara parametrik. Hal ini dapat dilakukan dengan memisalkan salah satu dari \( x \) atau \( y \) sebagai \( t \). (Contoh Soal pada bagian bawah).

5 Garis Singgung Pada Kurva yang Didefinisikan Secara Parametrik

Jika \( x(t) \) dan \( y(t) \) mempunyai turunan pertama terhadap \( t \) yang kontinu dan jika \( dx/dt \neq 0 \), maka \( y \) adalah suatu fungsi terdiferensial dari \( x \). Untuk memperoleh \( dy/dx \) tanpa mengeliminasi parameter \( t \) dapat didapatkan dengan aturan rantai

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \]

Garis singgung vertikal pada suatu \((x, y)\)	\(\frac{dx}{dt} = 0\) dan \(\frac{dy}{dt} \neq 0\)
Garis singgung horisontal pada suatu \((x, y)\)	\(\frac{dy}{dt} = 0\) dan \(\frac{dx}{dt} \neq 0\)
Titik-titik singular	\(\frac{dx}{dt} = 0\) dan \(\frac{dy}{dt} = 0\)

6 Panjang Busur dari Kurva Persamaan Parametrik

Teorema 6.1 (Panjang Busur Kurva Parametrik)

Jika tidak ada ruas kurva yang disajikan oleh persamaan parametrik

\( x = x(t), \quad y = y(t) \quad a \leq t \leq b \)

ditelusuri lebih dari sekali saat t bertambah dari a ke b, dan jika dx/dt dan dy/dt fungsi-fungsi kontinu untuk \( a \leq t \leq b \), maka panjang busur dari kurva, S, diberikan oleh

\( S = \int_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }\, dt \)

7 Sikloida

Jika sebuah roda menggelinding sepanjang garis lurus tanpa tergelincir, maka suatu titik pada peleg roda membentuk suatu kurva yang dinamakan sikloida.

8 Luas Permukaan dari Kurva Persamaan Parametrik

Teorema 8.1 (Luas Perumukaan Kurva Parametrik)

Jika \( x'(t) \) dan \( y'(t) \) adalah fungsi kontinu dan jika tidak ada potongan dari kurva

\( x = x(t), \quad y = y(t), \quad a \leq t \leq b \)

ditelusuri lebih dari satu kali, maka dapat ditunjukkan bahwa luas permukaan yang terjadi oleh pemutaran kurva ini terhadap sumbu-\(x\) adalah

\( S = \int_a^b 2\pi y(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt \)

dan luas permukaan yang terjadi oleh pemutaran kurva ini terhadap sumbu-\(y\) adalah

\( S = \int_a^b 2\pi x(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt \)

B) Contoh Soal

1. Soal EAS 2024
Diberikan persamaan parametrik \( x = \sin t,\, y = 1 + 2\sin t \) pada \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \).

Dapatkan panjang kurva dari persamaan parametrik
Buatlah sketsa kurva tersebut.

Pembahasan:

Panjang Kurva:
Rumus panjang kurva parametrik:
\( S = \int_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }\, dt \)
Untuk \( x = \sin t \), \( y = 1 + 2\sin t \), \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \):
- \( \frac{dx}{dt} = \cos t \)
- \( \frac{dy}{dt} = 2\cos t \)
Maka,
\( S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ (\cos t)^2 + (2\cos t)^2 }\, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \cos^2 t + 4\cos^2 t }\, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{5}\,|\cos t|\, dt \)
Karena \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \), \( \cos t \geq 0 \), sehingga:
\( S = \sqrt{5} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\, dt = \sqrt{5} [\sin t]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{5} (1 - 0) = \sqrt{5} \)
Jadi, panjang kurva adalah \( \boxed{\sqrt{5}} \).
Sketsa Kurva:

Karena \( x = \sin t \), \( y = 1 + 2\sin t \), untuk \( t \) dari 0 ke \( \frac{\pi}{2} \):
- Saat \( t = 0 \): \( x = 0,\, y = 1 \)
- Saat \( t = \frac{\pi}{2} \): \( x = 1,\, y = 3 \)
Hubungan antara \( x \) dan \( y \):
\( x = \sin t \implies t = \arcsin x \)
\( y = 1 + 2x \)
Jadi, kurva adalah garis lurus dari (0, 1) ke (1, 3).

2. Dapatkan persamaan garis singgung pada kurva \( x = t^2 + 1,\, y = 2t^3 - 1 \) saat \( t = 1 \).
Pembahasan:
Pertama, kita cari gradien garis singgung: \[ m = \frac{dy}{dx}\Bigg|_{t=1} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\Bigg|_{t=1} \] \[ \frac{dy}{dt} = 6t^2,\quad \frac{dx}{dt} = 2t \] \[ m = \frac{6t^2}{2t}\Bigg|_{t=1} = \frac{6 \times 1^2}{2 \times 1} = 3 \] Titik pada kurva saat \( t = 1 \): \[ x_0 = 1^2 + 1 = 2,\quad y_0 = 2 \times 1^3 - 1 = 1 \] Persamaan garis singgung: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] \[ y - 1 = 3(x - 2) \] \[ y = 3x - 5 \] Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \[ \boxed{y = 3x - 5} \]

3. Sajikan kurva \( y = 3x^3 - 1 \) secara parametrik.
Pembahasan:
Misalkan \( x = t \), sehingga \( y = 3t^3 - 1 \).
Jadi, persamaan parametriknya adalah: \[ \boxed{ \begin{cases} x = t \\ y = 3t^3 - 1 \end{cases} } \]

C) Latihan Soal

1. Soal EAS 2024
Diberikan persamaan parametrik \( x = t^2 + 1,\, y = t,\, 0 \leq t \leq 5 \).

Pembahasan

Buatlah sketsa kurva tersebut dengan mengeliminasi parameter \( t \)
Eliminasi parameter:
Dari \( y = t \), maka \( t = y \).
Substitusi ke \( x \):
\( x = t^2 + 1 = y^2 + 1 \).
Jadi, persamaan kurva:

\( x = y^2 + 1 \), dengan \( 0 \leq y \leq 5 \)
Sketsa kurva adalah parabola yang terbuka ke kanan, mulai dari titik (1, 0) sampai (26, 5).
Dapatkan persamaan garis singgung dari persamaan parametrik tersebut saat \( t = \frac{1}{2} \)
Cari gradien garis singgung:
\( \frac{dx}{dt} = 2t \), \( \frac{dy}{dt} = 1 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{2t} \)
Saat \( t = \frac{1}{2} \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} = 1 \)
Titik pada kurva saat \( t = \frac{1}{2} \):
\( x_0 = (\frac{1}{2})^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \)
\( y_0 = \frac{1}{2} \)
Persamaan garis singgung:
\( y - y_0 = m(x - x_0) \)
\( y - \frac{1}{2} = 1 \left(x - \frac{5}{4}\right) \)
\( y = x - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} = x - \frac{5}{4} + \frac{2}{4} = x - \frac{3}{4} \)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
\( \boxed{y = x - \frac{3}{4}} \)

2. Soal EAS 2024
Diberikan persamaan parametrik \( x = \cos 2t,\, y = 3 - 2\cos 2t \) pada \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \).

Pembahasan

Dapatkan panjang kurva dari persamaan parametrik
Buatlah sketsa kurva tersebut.

Pembahasan:

Panjang Kurva:
Rumus panjang kurva parametrik:
\( S = \int_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }\, dt \)
Untuk \( x = \cos 2t \), \( y = 3 - 2\cos 2t \), \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \):
- \( \frac{dx}{dt} = -2\sin 2t \)
- \( \frac{dy}{dt} = 4\sin 2t \)
Maka,
\( S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ (-2\sin 2t)^2 + (4\sin 2t)^2 }\, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4\sin^2 2t + 16\sin^2 2t}\, dt \)
\( = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{20\sin^2 2t}\, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{5}|\sin 2t|\, dt \)
Karena \( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \), \( \sin 2t \geq 0 \), sehingga:
\( S = 2\sqrt{5} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t\, dt = 2\sqrt{5} \left[ -\frac{1}{2}\cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \)
\( = 2\sqrt{5} \left( -\frac{1}{2}[\cos \pi - \cos 0] \right) = 2\sqrt{5} \left( -\frac{1}{2}[-1 - 1] \right) = 2\sqrt{5} \left( 1 \right) = 2\sqrt{5} \)
Jadi, panjang kurva adalah \( \boxed{2\sqrt{5}} \).
Sketsa Kurva:

Karena \( x = \cos 2t \), \( y = 3 - 2\cos 2t \), untuk \( t \) dari 0 ke \( \frac{\pi}{2} \):
- Saat \( t = 0 \): \( x = 1,\, y = 1 \)
- Saat \( t = \frac{\pi}{2} \): \( x = -1,\, y = 5 \)
Hubungan antara \( x \) dan \( y \):
\( x = \cos 2t \implies t = \frac{1}{2}\arccos x \)
\( y = 3 - 2x \)
Jadi, kurva adalah garis lurus dari (1, 1) ke (-1, 5).

3. Soal EAS 2023
Dapatkan semua nilai parameter \( t \) yang menyebabkan kurva parameter \( x = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 7 \) dan \( y = t^2 + t + 1 \) mempunyai garis singgung

horisontal
vertikal

Pembahasan

Langkah pertama adalah mencari turunan terhadap \( t \):

\( \frac{dy}{dt} = 2t + 1 \)
\( \frac{dx}{dt} = 6t^2 - 30t + 24 \)

Garis singgung horisontal
Syarat: \( \frac{dy}{dt} = 0 \) dan \( \frac{dx}{dt} \neq 0 \)
- \( 2t + 1 = 0 \implies t = -\frac{1}{2} \)
- \( \frac{dx}{dt} = 6(-\frac{1}{2})^2 - 30(-\frac{1}{2}) + 24 = 6 \cdot \frac{1}{4} + 15 + 24 = 1.5 + 15 + 24 = 40.5 \neq 0 \)
Jadi, semua \( t \) agar titik \((x, y)\) memiliki garis singgung horisontal adalah
\( \boxed{t = -\frac{1}{2}} \)
Garis singgung vertikal
Syarat: \( \frac{dx}{dt} = 0 \) dan \( \frac{dy}{dt} \neq 0 \)
- \( 6t^2 - 30t + 24 = 0 \implies t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t-4)(t-1) = 0 \implies t = 1 \) atau \( t = 4 \)
- Untuk \( t = 1 \): \( \frac{dy}{dt} = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \neq 0 \)
- Untuk \( t = 4 \): \( \frac{dy}{dt} = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \neq 0 \)
Jadi, semua \( t \) agar titik \((x, y)\) memiliki garis singgung vertikal adalah
\( \boxed{t = 1 \text{ atau } t = 4} \)

4. Soal EAS 2022
Misalkan posisi suatu partikel pada saat \( t \) diberikan dalam dua fungsi parametrik \( x = \ln t - 1 \) dan \( y = \frac{t}{t^2 - 1} \).

Nyatakan posisi partikel tersebut ke dalam bentuk koordinat kartesius
Gambarkan grafik lintasan partikel untuk \( t \geq 2 \).

Pembahasan

Diketahui \( x = \ln t - 1 \).
Maka \( x + 1 = \ln t \implies t = e^{x+1} \).
Substitusi ke \( y \):
\( y = \frac{t}{t^2 - 1} = \frac{e^{x+1}}{(e^{x+1})^2 - 1} = \frac{e^{x+1}}{e^{2x+2} - 1} \).
Jadi, persamaan kartesiusnya:

\( \boxed{y = \frac{e^{x+1}}{e^{2x+2} - 1}} \)
Grafik lintasan partikel untuk \( t \geq 2 \) berarti \( x \geq \ln 2 - 1 \).
Berikut adalah ilustrasi grafik lintasan:

5. Dapatkan luas permukaan yang terjadi bila \( x = \cos^2 t,\, y = \sin^2 t,\, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \) diputar terhadap sumbu-\(y\). Pembahasan:
Luas permukaan yang terjadi oleh pemutaran kurva ini terhadap sumbu-\(y\) adalah

\( S = \int_a^b 2\pi x(t) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt \)

Dengan \( x(t) = \cos^2 t \), \( y(t) = \sin^2 t \), \( x'(t) = -2\cos t \sin t \), \( y'(t) = 2\sin t \cos t \), maka:

\[ \begin{align*} S &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi \cos^2 t \sqrt{[-2\cos t \sin t]^2 + [2\sin t \cos t]^2} \, dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi \cos^2 t \sqrt{4\cos^2 t \sin^2 t + 4\sin^2 t \cos^2 t} \, dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi \cos^2 t \sqrt{8\cos^2 t \sin^2 t} \, dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi \cos^2 t \cdot 2\sqrt{2} \cos t \sin t \, dt \\ &= 4\sqrt{2}\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 t \sin t \, dt \\ \end{align*} \]

Gunakan substitusi \( u = \cos t \), \( du = -\sin t dt \), batas \( t = 0 \rightarrow u = 1 \), \( t = \frac{\pi}{2} \rightarrow u = 0 \):

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 t \sin t \, dt = -\int_1^0 u^3 du = \int_0^1 u^3 du = \left. \frac{u^4}{4} \right|_0^1 = \frac{1}{4} \]

Jadi,

\( S = 4\sqrt{2}\pi \cdot \frac{1}{4} = \sqrt{2}\pi \)

Sehingga, luas permukaan yang terjadi adalah

\[ \boxed{S = \sqrt{2}\pi} \]